高中同学思考数学本质,非常好。
从科学工作者的立场看来,数学最明显的本质,就是它是一种先验的真理体系,不是经验科学。物理、化学、生物等科学门类,正确性是由实验来判定的,公认多年的真理被进一步的实验证伪是经常发生的事,如牛顿力学被相对论与量子力学否定。数学却跟实验没有关系,你不可能通过数一数,看1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果,来判断1+1是否等于2。
如果你真的数出1个苹果加1个苹果等于3个苹果,人们的结论只会是你数错了,而不是1+1等于3。如果你说1个原子核加另一个原子核会合并成1个原子核,那并不是1+1等于1,而是这里发生了核反应,不同于数学意义上的加法。这是因为当我们做逻辑推理时,必须有一些在逻辑上位于经验事实之前的、可靠性确定无疑的概念和命题作为基础,数学就属于这样的基础。那为什么教儿童算术的时候,会给他们看1个苹果加1个苹果等于2个苹果、1个桔子加1个桔子等于2个桔子?回答是,那不是证明,只是演示,演示的目的是让儿童头脑中产生数的概念。当他们认识到数的概念后,很快就会理解这个概念是独立于苹果、桔子这些具体事物的,无论谈的是苹果、桔子这样实际存在的事物还是神仙、妖怪这样虚构的事物,1+1等于2都同样成立。用庄子的话,这叫做得鱼忘筌。这是心理学、教育学的问题,而不是数学、逻辑学的问题。
伯特兰·罗素数学只认公理体系、演绎法,而经验科学的根基是归纳法。为什么会这样?罗素等人认为数学是逻辑学,希尔伯特等人认为数学是形式系统,布劳威尔等人认为数学是心灵的直觉,哥德尔不完备性定理又表明数学比大家理解得还要复杂得多。要追根究底,数学的本质仍然是个悬而未决的问题,但在实用的意义上,对大多数科学工作者和公众而言,先验的真理体系这个事实陈述已经足够。
4 :相亲故事
10 :激励我向前进(“他的精神依然激励